三个中值定理都应该在什么情况下使用？

比如看到a,b,c三个未知数，下意识使用拉格朗日中值定理。看到f(b)-f(a)也能想到使用拉格朗日。

请问还有这样的情况吗？看到某个条件就知道该使用哪个定理

惯性思维要不得。

你以为考得是拉格朗日。

结果老教授就看中你们这种心理给你整的泰勒公式。

为什么？因为我遇到过。

昨天考试老教授出了一题一看就知道是所谓的拉格朗日解法，可是那道题老教授上课带头演算过，拉格朗日解到某一步的时候，它的存在性会出现一些问题，而这些问题会导致用拉格朗日很难解出这道题。后来抛弃了这种惯性思维，改用泰勒公式，两个方程组就证明出来了。

这个故事的意义是什么？

上课用心听啊！这个很明显就是老教授惩罚上课不听的人的惯用套路。

再说说三个中值定理。（三个？这一章是一个体系好吧）

从Fermat引理开始吧（教材是这样开始的）

这个引理可以把导函数的极值问题转化为方程的问题，也就间接引出了Rolle中值定理。

然后通过对比你会发现Cauchy中值定理是泰勒公式的特殊形式（带Lagrange余项的泰勒展开），Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特殊形式，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊形式。

请看我的下列文章（点击链接就可看到）中的第七张第八张照片，有关用辅助函数解题的小结：

龚漫奇：微分应用这一章应掌握的内容

三种中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可用于证明恒等式和不等式的证明。三种中值定理间的条件和结论各不相同但相互存在联系。具体题目结合题目条件结构特征具体分析。平时应该适当多刷题，熟悉一些常用的构造技巧，熟能生巧嘛。比如这时做一下题抽空复习一下：

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题目：设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，若 ，试证：方程 在 内有唯一的实根。

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需要注意到几点：

细心读题知要证的问题有两点，有实根和实根唯一。

证有实根的时候最好不用零点定理，因为在正无穷时不便说明函数值为正。

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先证有实根：在 上用拉格朗日中值定理有： ,

要使 ，只要 即可。由介值定理不难知：方程 有根。

再证实根唯一：假设方程有两个不同的根 ,且 ,则 .此时由罗尔定理知，存在 ，使得 ，与 矛盾，故实根唯一。

值得提一下的是介值定理和零点定理的区别：

介值定理表明连续函数的一个区间内的函数值介于最大值和最小值之间。

而零点定理是说闭区间的端点函数值为异号且连续，那么在开区间内至少有一点使函数值等于零。

由此可知零点定理是介值定理的特殊情况。